| note
| - Symmetric, positive-definite matrices, or tensors, are nowadays a common geometrical tool for image processing and analysis. The recent emergence of diffusion tensor MRI (DTI) and computational anatomy (CA) brought importance of tensors out to the medical community. However, working with those is difficult: the positive-definite constraint must be satisfied at any cost, which cannot be ensured in general with standard matrix operations. In this work, we propose two alternatives to the standard Euclidean calculus on tensors. Instead of seeing the tensor space as a vector space, we consider it as a manifold, i.e., a smooth curved space. Thanks to the Riemannian geometry, we are able to ``unfold'' this space, and to generalize any operation on tensors with astonishing simple implementations. In a second step, we review the applications of such frameworks in the context of clinical DTI and brain CA. In DTI, we show that very noisy data, typical of clinical acquisitions, can be optimally exploited and eventually produce a meaningful and clinically relevant fiber reconstruction. In brain CA, we show that, by considering simple brain anatomical landmarks - the sulcal lines - we are able to precisely measure the inter-individual variability of the cortex. Finally, we develop a new framework to study the anatomical correlations between brain regions, and present results of so far unknown relationships between symmetric sulcal positions, and between a-priori unrelated sulci, which raises new fundamental questions about the origin of such statistical dependencies.
- Les matrices symétriques et définies positives, ou tenseurs, sont aujourd'hui fréquemment utilisées en traitement et analyse des images. Leur importance a été mise à jour avec l'apparition récente de l'IRM du tenseur de diffusion (ITD) et de l'anatomie algorithmique (AA). Cependant, il est difficile de travailler avec : la contrainte de positivité doit être satisfaite à tout prix, ce qui n'est pas garanti avec les opérations matricielles standard. Dans ce travail, nous proposons deux alternatives au calcul euclidien sur les tenseurs. Au lieu de voir l'espace des tenseurs comme un espace vectoriel, nous le considérons comme une variété, i.e., un espace courbe et lisse. Grâce à la géométrie riemannienne, il est alors possible de \" déplier \" cet espace et de généraliser aux tenseurs toute opération avec des implémentations étonnamment simples. Dans un deuxième temps, nous passons en revue les applications de tels cadres de calcul en ITD clinique et en AA du cerveau. En ITD, nous montrons qu'il est possible de traiter de manière optimale des données très bruitées typiques d'acquisitions cliniques, et de produire des reconstructions de fibres plausibles. En AA du cerveau, nous montrons qu'en considérant des repères anatomiques simples - les lignes sulcales - il est possible de mesurer précisément la variabilité interindividuelle du cortex. Finalement, nous développons un cadre nouveau pour étudier les corrélations anatomiques entre régions du cerveau, et présentons des résultats jusqu'à maintenant inconnus de dépendances entre sillons symétriques, et entre sillons à priori non reliés, soulevant ainsi de nouvelles questions sur l'origine de telles dépendances statistiques.
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