| note
| - Dans cette thèse, nous établissons des premiers pas de la géométrie énumérative non-archimédienne. Nous présentons plusieurs nouveaux résultats en géométrie tropicale et en géométrie de Berkovich. Notre motivation vient l'étude de la symétrie miroir, surtout de l'approche non-archimédienne proposée par Kontsevich-Soibelman. Nous commençons par une étude de la tropicalisation dans un cadre global, car le cadre classique ne nous suffit pas. Nous démontrons la condition d'équilibre généralisée en terme de la théorie de l'intersection. Ensuite, nous passons aux courbes en familles. Nous construisons l'espace de modules des applications stables non-archimédiennes, nous introduisons la structure kâhlérienne et établissons le théorème de compacité de Gromov non archimédien. Concernant la tropicalisation des courbes analytiques en familles, nous démontrons le théorème de continuité et de polyédralité. Nous incluons aussi les fondements d'une théorie des champs analytiques supérieurs et démontrons des analogues du théorème de Grauert et du théorème GAGA de Serre. Tous ces théorèmes généraux convergent vers une application concrète : le comptage de cylindres holomorphes dans des surfaces log Calabi-Yau. Ceci donne lieu aux nouveaux invariants géométriques. Un calcul explicite est détaillé pour une surface de del Pezzo, ce qui vérifie la formule conjecturale de wall-crossing. Nos outils comprennent les espaces de Berkovich, les modèles formels, la cohomologie étale, le! cycles évanescents, la théorie de l'intersection, le critère de représentabilité d'Artin, la géométrie des courbes stables, les ensembles rigides sous-analytiques, la théorie de Gromov¬Witten et les infinies catégories
- In this thesis, we establish the first steps of non-archimedean enumerative geometry. We present several new results in tropical geometry and in Berkovich geometry. Our motivation cornes from the study of mirror symmetry, especially from the non-archimedean approach suggested by Kontsevich-Soibelman. We start by studying tropicalization in a global setting, because the classical setting is not sufficient for our purposes. We prove the generalizec balancing condition in terras of the intersection theory. Then, we pass to curves in families. We construct the moduli space of non-archimedean stable maps, introduce the Kâhler structure, an( establish the non-archimedean Gromov compactness theorem. Concerning the tropicalization of analytic curves in families, we prove the theorem of continuity and polyhedrality. We also include a foundation for higher analytic stacks, and prove analogs of Grauert's theorem and Serre's GAGA theorem. Ail these general theorems converge to a concrete application: the enumeration of holomorphic cylinders in log Calabi-Yau surfaces. This pives rise to new geometric invariants. An explicit computation is given for a del Pezzo surface in detail, which verifies the conjectured wall-crossing formula. Our tools include Berkovich spaces, formai models, étale cohomology, vanishing cycles, intersection theory, Artin's representability criterion, the geometry of stable curves, rigid subanalytic sets, Gromov-Witten theory and infinity categories.
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