| Attributes | Values |
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| type
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| Thesis advisor
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| Author
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| alternative label
| - A priori estimates of global solutions and blow-up criterions for nonlinear parabolic problems
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| dc:subject
| - Thèses et écrits académiques
- Systèmes non linéaires
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| preferred label
| - Estimations à priori et critères d'exploxion pour les problèmes paraboliques non-linéaires
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| Language
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| Subject
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| dc:title
| - Estimations à priori et critères d'exploxion pour les problèmes paraboliques non-linéaires
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| Degree granting institution
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| note
| - Ce travail présente quelques résultats concernant les solutions de certaines équations paraboliques non-linéaires avec condition de Dirichlet au bord et donnée initiale positive. Il comporte deux parties distinctes. Dans la Partie I, nous travaillons dans des ouverts non bornés qui, typiquement, sont l'intérieur d'une surface de révolution. Nous considérons des équations dont les non-linéarités dépendent de puissances de la solution et de son gradient et donnons des résultats d'explosion en temps fini de la solution, suivant la décroissance à l'infini de la donnée initiale. Le critère obtenu dépend directement de la géométrie du domaine. Nous montrons que pour une large classe de domaines, ces résultats sont optimaux, i.e. il existe des solutions globales pour des données initiales ayant le même ordre de décroissance à l'infini. Nous généralisons les résultats d'explosion pour certains systèmes. Dans la Partie II, nous étudions les solutions globales positives d'équations comportant des termes de réaction non-locaux, dans des domaines bornés. Nous montrons qu'elles sont uniformément bornées : en d'autres termes, elles ne peuvent exploser en temps infini, ce qui n'est pas toujours le cas pour les termes de réaction locaux. Enfin, nous montrons l'existence de bornes universelles pour certaines de ces équations : après tout temps strictement positif, toutes les solutions globales et positives de ces équations sont bornées par une même constante indépendante de la donnée initiale. La démonstration repose en particulier sur de nouveaux effets régularisants pour ce type de problèmes.
- [Résumé en anglais] We present some résults concerning solutions of some nonlinear heat equations with Dirichlet boundary conditions and positive initial data. This work contains two distinct parts. In Part I, we work in unbounded domains which, typically, are the interior of a revolution surface. We consider equations with local nonlinearities which depend on powers of the solution and of its gradient, and we give results of finite time blow-up involving the decay at infinity of the initial data and the geometric nature of the domain. We prove, for a large class of domains, that those results are optimal, i.e. there exist global solutions with same order of decay at infinity for their initial data. We generalize blow-up results for systems. Part II deals with global positive solutions with nonlocal reaction terms in bounded domains. We prove the uniform boundedness of those solutions, in order words, they cannot blow up in infinite time, which is not always the case for local reaction term. For some equations, we prove the existence of universal bounds : after any positive time, all global positive solutions are bounded by a constant independent of the initial data. The proof relies in particular on new smoothing effects for problems of this kind.
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