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Cluster categories with infinite-dimensional morphism spaces, applications

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Représentations d'algèbres Variétés triangulées Thèses et écrits académiques Algèbres commutatives Variétés (mathématiques)

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Catégories amassées aux espaces de morphismes de dimension infinie

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Catégories amassées aux espaces de morphismes de dimension infinie

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Cette thèse est consacrée au développement et à l'utilisation d'outils catégoriques pour l'étude des algèbres amassées de S. Fomin et A. Zelevinsky. La catégorie amassée généralisée de C. Amiot est une catégorie triangulée ayant été utilisée, dans le cas où elle est Hom-finie, pour catégorifier certaines algèbres amassées au moyen de caractères amassés au sens de Y. Palu. Dans cette thèse, nous généralisons les méthodes connues au cas où la catégorie amassée n'est pas Hom-finie, obtenant ainsi une catégorification de toute algèbre amassée antisymétrique. Pour ce faire, nous nous restreignons à une sous-catégorie de la catégorie amassée qui est stable par mutation et possède une propriété analogue à la condition 2-Calabi-Yau. Nous prouvons l'existence d'un caractère amassé sur cette sous-catégorie. Nous utilisons ensuite ces outils pour interpréter la combinatoire des algèbres amassées au moyen de la catégorie amassée. Notamment, nous démontrons une correspondance entre les g-vecteurs et les indices, donnons une interprétation des F-polynômes, et prouvons que les définitions de mutation dans l'algèbre et dans la catégorie sont cohérentes entre elles. Ces propriétés nous permettent de donner une nouvelle démonstration à de nombreuses conjectures pour les algèbres amassées antisymétriques. Finalement, en nous inspirant d'un travail récent de C. Geiss, B. Leclerc et J. Schrôer, nous montrons comment l'ensemble des indices, en bijection avec l'ensemble des g-vecteurs, permet la construction d'une base de certaines algèbres amassées. Nous expliquons pourquoi cette construction fournit un bon candidat pour l'obtention d'une base de l'algèbre amassée supérieure en général. This thesis is concerned with the development and application of categorical tools in the study of the cluster algebras of S. Fomin and À. Zelevinsky. C. Amiot's generalized cluster category is a triangulated category which has been used, in the case where it is Hom-finite, to categorify a certain class of cluster algebras, using cluster characters in the sense of Y. Palu. In this thesis, we generalize these results to the case where the cluster category is not Hom-finite, thus obtaining a categorification of any skew-symmetric cluster algebra. In order to do so, we restrict ourselves to a subcategory of the cluster category which is stable under mutation and satisfies an analogue of the 2-Calabi-Yau condition. We prove the existence of a cluster character on this subcategory. We then use these tools to interpret the combinatorics of cluster algebras inside the cluster category. In particular, we prove a correspondence between g-vectors and indices, provide an interpretation of F-polynomials, and show that the definition of mutation in the algebra and in the category are consistent with each other. These properties allow us to give new proofs of numerous conjectures for skew-symmetric cluster algebras. Finally, starting from recent work by C. Geiss, B. Leclerc and J. Schrôer, we show how the set of indices parametrizes a basis for a class of cluster algebras. We then show that this construction provides us with a good candidate for a basis of the upper cluster algebra in general.

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Text

n13:P1001

n14:T1009

rdaw:P10219

2011

rdau:P60049

n20:1020